Tung đồng xu

Mô phỏng tung đồng xu: Trong mỗi khung hình, đồng xu có một mặt đỏ và một mặt xanh lại được tung một lần. Kết quả của mỗi lần tung được thể hiện bằng một chấm màu trong cột tương ứng. Biểu đồ hình tròn ở bên phải cho thấy tỷ lệ mặt đỏ/xanh tiến dần đến 50-50 (quy luật số lớn). Nhưng hiệu số giữa mặt đỏ và mặt xanh không giảm dần về 0 một cách có hệ thống.

Một minh hoạ cho ngụy biện con bạc là phép thử tung nhiều lần một đồng xu cân đối. Kết quả của các lần tung khác nhau là độc lập về mặt thống kê.

Xác suất tung ra mặt ngửa trong một lần tung là 1/2.

Xác suất tung ra mặt ngửa trong cả hai lần tung là 1/4.

Xác suất tung ra mặt ngửa trong cả ba lần tung là 1/8.

Nói chung, nếu Ai là biến cố tung i lần một đồng xu cân đối và đều ra mặt ngửa, thì xác suất xảy ra (Pr) của Ai là:

Pr ( ⋂ i = 1 n A i ) = ∏ i = 1 n Pr ( A i ) = 1 2 n {\displaystyle \Pr \left(\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\prod _{i=1}^{n}\Pr(A_{i})={1 \over 2^{n}}}

Nếu sau khi biến cố mặt ngửa xuất hiện 4 lần liên tiếp, lần tung tiếp theo cũng ra mặt ngửa, thì một chuỗi năm mặt ngửa sẽ được hình thành. Vì xác suất để chuỗi này xảy ra là 1/32, một người nào đó có thể tin rằng lần tung tiếp theo sẽ có nhiều khả năng ra mặt sấp hơn so với mặt ngửa. Điều này là không chính xác và là một ví dụ cho ngụy biện con bạc. Biến cố "5 mặt ngửa liên tiếp" và biến cố "4 mặt ngửa, rồi 1 mặt sấp" có khả năng xảy ra bằng nhau và bằng 1/32. Sau bốn lần tung đầu tiên đều ra mặt ngửa, xác suất để lần tung tiếp theo cũng ra mặt ngửa là:

Pr ( A 5 | A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ∩ A 4 ) = Pr ( A 5 ) = 1 2 {\displaystyle \Pr \left(A_{5}|A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4}\right)=\Pr \left(A_{5}\right)={\frac {1}{2}}}

Dù chuỗi năm mặt ngửa liên tiếp có xác suất là 1/32 = 0,03125 (chỉ lớn hơn 3% một chút), người chơi không nhận ra rằng đây là trường hợp ngay trước khi tung đồng xu đầu tiên. Sau bốn lần tung đầu tiên trong ví dụ này, kết quả không còn là ẩn số, vì vậy xác suất của chúng tại thời điểm đó bằng 1 (100%). Xác suất để một chuỗi ngửa hoặc sấp có độ dài bất kỳ tiếp tục cho ra một lần tung với chính mặt đó luôn là 0,5. Lập luận cho rằng lần tung thứ năm có nhiều khả năng ra mặt sấp hơn vì bốn lần tung trước đều ra mặt ngửa, rằng chuỗi may mắn trong quá khứ ảnh hưởng đến xác suất xảy ra trong tương lai, là cơ sở của ngụy biện.

Lý do đồng xu cân đối có xác suất 1/2

Nếu một đồng xu cân đối được tung 21 lần, xác suất xảy ra biến cố 21 mặt ngửa liên tiếp là 1/2.097.152. Xác suất đồng xu đó tiếp tục ra mặt ngửa sau khi đã ra 20 lần mặt ngửa liên tiếp là 1/2.

Xét phép thử tung một đồng xu cân đối 21 lần:

• Xác suất biến cố "20 mặt ngửa rồi 1 mặt sấp" xảy ra là 0,520 × 0,5 = 0,521
• Xác suất biến cố "20 mặt ngửa rồi 1 mặt ngửa" xảy ra là 0,520 × 0,5 = 0,521

Xác suất xảy ra của cả hai biến cố "20 mặt ngửa rồi 1 mặt sấp" và "20 mặt ngửa rồi 1 mặt ngửa" đều là 1/2.097.152.

Trong phép thử này, hai biến cố "20 mặt ngửa rồi 1 mặt sấp" và "21 mặt ngửa" có xác suất xảy ra tương đương nhau, và cũng tương đương với bất kỳ biến cố nào khác trong không gian mẫu của phép thử đang xét, bằng 0,521, hay 1/2.097.152. Mệnh đề cho rằng xác suất sẽ thay đổi theo kết quả của các lần tung trước là không chính xác vì mọi biến cố trong không gian mẫu của phép thử trên đều có khả năng xảy ra như mọi kết quả khác. Theo định lý Bayes, xác suất của mỗi lần tung đơn lẻ bằng đúng xác suất của đồng xu cân đối: 1/2.

Những ví dụ khác

Ngụy biện của tay cá cược dẫn đến quan niệm sai lầm rằng những thất bại trước đó sẽ khiến xác suất thành công ở những lần thử tiếp theo tăng lên.

Đối với một con xúc xắc 16 mặt cân đối, xác suất của mỗi biến cố là 1/16 (6,25%). Nếu người chơi phải tung ra mặt 1 để thắng, xác suất để người đó tung ra mặt này ít nhất một lần trong 16 lần tung là:

1 − [ 15 16 ] 16 = 64.39 % {\displaystyle 1-\left[{\frac {15}{16}}\right]^{16}\,=\,64.39\%}

Xác suất thua ở lần tung đầu tiên là 15/16 (93,75%).

Theo ngụy biện con bạc, người chơi sẽ có cơ hội thắng cao hơn sau khi đã thua một lần.

Trên thực tế, lúc này, xác suất để thắng ít nhất một lần là:

1 − [ 15 16 ] 15 = 62.02 % {\displaystyle 1-\left[{\frac {15}{16}}\right]^{15}\,=\,62.02\%}

Sau khi thua ở lần tung đầu, xác suất chiến thắng của người chơi sẽ giảm đi 2,37%. Sau 5 lần thua, xác suất này chỉ còn khoảng 0,5083 (50,83%).

Xác suất để người chơi chiến thắng ít nhất một lần không những không tăng lên sau một chuỗi thua, mà còn giảm đi, vì số lần tung còn lại sẽ ít dần. Xác suất chiến thắng ở lần tung cuối cùng sẽ bằng xác suất khi chỉ tung một lần duy nhất, tương đương 1/16 (6,25%).